2.13 请证明,在误差很小的百分数条件下,存在着一个简单公式,利用它可以从两个被乘区间的误差算出乘积的百分数误差值.你可以假定所有的数为正,以简化这一问题.

证明: 设c1,c2,p1,p2均大于0, 其中c1,c2为中心点, p1, p2为误差百分值, 那么两个区间分别为(c1 - c1p1, c1 + c1p1) , (c2 - c2p2, c2 + c2p2)

因为c1 > 0,c2 > 0, 根据所定义的区间乘法,  

     (c1 - c1p1, c1 + c1p1)  *  (c2 - c2p2, c2 + c2p2)

=  ( (c1 - c1p1) (c2 - c2p2) , (c1 + c1p1)(c2 + c2p2) )

=  (c1c2 + c1c2p2 + c1c2p1 + c1c2p1p2 , c1c2 - c1c2p2 - c1c2p1 + c1c2p1p2)

设其中心点为C, 误差值为P, 可得:

C - CP = c1c2 + c1c2p2 + c1c2p1 + c1c2p1p2

C + CP = c1c2 - c1c2p2 - c1c2p1 + c1c2p1p2

解这个线性方程组, 得到

 P =   (c1c2 - c1c2p2 - c1c2p1 + c1c2p1p2 - (c1c2 + c1c2p2 + c1c2p1 + c1c2p1p2 ) )  /   (c1c2 - c1c2p2 - c1c2p1 + c1c2p1p2 + c1c2 + c1c2p2 + c1c2p1 + c1c2p1p2 )

化简得 P = (p1 + p2) /  (1 + p1p2)

因为p1 -> 0 , p2 ->0, 所以p1p2是p1和p2的高阶无穷小.

所以P 约等于 p1 + p2